Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A（-8，3），B（-4，0），C（-4，3），∠ABC=α°．拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C，且對稱軸為x=-$\frac{4}{5}$，并與y軸交于點(diǎn)G．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）將Rt△ABC沿x軸向右平移m個單位，使B點(diǎn)移到點(diǎn)E，然后將三角形繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)α°得到△DEF．若點(diǎn)F恰好落在拋物線上．
①求m的值；
②連接CG交x軸于點(diǎn)H，連接FG，過B作BP∥FG，交CG于點(diǎn)P，求證：PH=GH．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)C坐標(biāo)代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得一方程，利用對稱軸公式得另一方程，組成方程組求出解析式，并求出G點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①作輔助線，構(gòu)建直角△DEF斜邊上的高FM，利用直角三角形的面積相等和勾股定理可表示F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F在拋物線上，列方程求出m的值；
②F點(diǎn)和G點(diǎn)坐標(biāo)已知，可以求出直線FG的方程，那么FG和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè)為Q）可以知道，C點(diǎn)坐標(biāo)已知，CG的方程也可以求出，那么H點(diǎn)坐標(biāo)可以求出，可以證明△BPH和△QGH全等．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×（-4）^{2}-4b+c=3}\\{-\frac{2×\frac{1}{2}}=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{4}{5}}\\{c=-\frac{9}{5}}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{4}{5}$x$-\frac{9}{5}$，點(diǎn)G（0，-$\frac{9}{5}$）；

（2）①∵B（-4，0），C（-4，3），
∴BC⊥x軸，
∵將三角形ABC平移后繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)α°得到△DEF，即AB旋轉(zhuǎn)到BC的位置，
∴DE⊥x軸，
過F作FM⊥y軸，交DE于M，交y軸于N，
由題意可知：AC=4，BC=3，則AB=5，F(xiàn)M=$\frac{12}{5}$，
∵Rt△ABC沿x軸向右平移m個單位，使B點(diǎn)移到點(diǎn)E，
∴E（-4+m，0），OE=MN=4-m，F(xiàn)N=$\frac{12}{5}$-（4-m）=m-$\frac{8}{5}$，
在Rt△FME中，由勾股定理得：EM=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴F（m-$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∵F拋物線上，
∴$\frac{9}{5}$=$\frac{1}{2}$（m-$\frac{8}{5}$）²+$\frac{4}{5}$（m-$\frac{8}{5}$）-$\frac{9}{5}$，
5m²-8m-36=0，
m₁=-2（舍），${m}_{2}=\frac{18}{5}$；

②F（$\frac{18}{5}-\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∴F（2，$\frac{9}{5}$），
易求得FG的解析式為：y=$\frac{9}{5}$x-$\frac{9}{5}$，
CG解析式為：y=-$\frac{6}{5}$x-$\frac{9}{5}$，
∴$\frac{9}{5}$x-$\frac{9}{5}$=0，x=1，則Q（1，0），
-$\frac{6}{5}$x-$\frac{9}{5}$=0，x=-1.5，則H（-1.5，0），
∴BH=4-1.5=2.5，HQ=1.5+1=2.5，
∴BH=QH，
∵BP∥FG，
∴∠PBH=∠GQH，∠BPH=∠QGH，
∴△BPH≌△QGH，
∴PH=GH．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)、一次函數(shù)）的解析式，利用解析式求與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用面積法求斜邊上的高及三角形全等的性質(zhì)等；綜合性較強(qiáng)，但難度不大，是一道不錯的中考壓軸題．