Question

順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，欲使四邊形EFGH為正方形，則四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)必須滿(mǎn)足的條件是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專(zhuān)題：

分析：由于四邊形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中點(diǎn)，易知GF是△ACD的中位線(xiàn)，于是GF∥AC，GF=

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AC，同理可得IG∥BD，IG=

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BD，易求AC=BD，又由于GF∥AC，∠IGF=90°，利用平行線(xiàn)性質(zhì)可得∠IHO=90°，而IG∥BD，易證∠BOC=90°，即AC⊥BD，從而可證四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等．

解答：：解：如右圖所示，四邊形ABCD的各邊中點(diǎn)分別是I、E、F、G，且四邊形EFGI是正方形，
∵四邊形EFGI是正方形，
∴∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，
又∵G、F是AD、CD中點(diǎn)，
∴GF是△ACD的中位線(xiàn)，
∴GF∥AC，GF=

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2

AC，
同理有IG∥BD，IG=

1

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BD，
∴

1

2

AC=

1

2

BD，
即AC=BD，
∵GF∥AC，∠IGF=90°，
∴∠IHO=90°，
又∵IG∥BD，
∴∠BOC=90°，
即AC⊥BD，
故四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等．
故答案為：對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、平行線(xiàn)性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接AC、BD，構(gòu)造平行線(xiàn)．