Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M、N在邊BC上，且∠MAN=45°，MB=1，CN=3，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．通過(guò)證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM=AE、對(duì)應(yīng)角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN=EN；最后由勾股定理得到EN²=EC²+NC²即MN²=BM²+NC²．

解答：解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，

AB=AC ∠B=∠ACE BM=CE

，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，

AM=AE ∠MAN=∠EAN AN=AN

，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN²=EC²+NC²．
∴MN²=BM²+NC²．
∵BM=1，CN=3，
∴MN²=1²+3²，
∴MN=

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、等腰直角三角形的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形．