Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，點D在y軸上，點E在x軸上，在△ABC中，點A，C在x軸上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求畫圖（保留作圖痕跡）：

（1）將△ODE繞O點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△OMN（其中點D的對應(yīng)點為點M，點E的對應(yīng)點為點N），畫出△OMN；
（2）將△ABC沿x軸向右平移得到△A′B′C′（其中點A，B，C的對應(yīng)點分別為點A′，B′，C′），使得B′C′與（1）中的△OMN的邊NM重合；
（3）求OE的長．

Answer 1

考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換,作圖-平移變換

專題：作圖題

分析：（1）以點O為圓心，以O(shè)E為半徑畫弧，與y軸正半軸相交于點N，以O(shè)D為半徑畫弧，與x軸負(fù)半軸相交于點M，連接MN即可；
（2）以M為圓心，以AC長為半徑畫弧與x軸負(fù)半軸相交于點A′，B′與N重合，C′與M重合，然后順次連接即可；
（3）設(shè)OE=x，則ON=x，作MF⊥A′B′于點F，判斷出B′C′平分∠A′B′O，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等和角平分線的對稱性可得B′F=B′O=OE=x，F(xiàn) C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：（1）△OMN如圖所示；

（2）△A′B′C′如圖所示；

（3）設(shè)OE=x，則ON=x，作MF⊥A′B′于點F，
由作圖可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′，
所以，B′F=B′O=OE=x，F(xiàn) C′=O C′=OD=3，
∵A′C′=AC=5，
∴A′F=

52-32

=4，
∴A′B′=x+4，A′O=5+3=8，
在Rt△A′B′O中，x²+8²=（4+x）²，
解得x=6，
即OE=6．

點評：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變化與平移變化的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．