Question

矩形紙片ABCD中，AB=5，AC=3，將紙片折疊，使點B落在邊CD上的B′處，折痕為AE．在折痕AE上存在一點P到邊CD的距離與到點B的距離相等，則此相等距離為

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由翻折變換的性質得出F、B′重合，分別延長AE，CD相交于點G，由平行線的性質可得出GB′=AB′=AB=5，再根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ACG∽△PB′G，求出其相似比，進而可求出答案．

解答：解：如圖所示，設PF⊥CD，
∵BP=FP，
由翻折變換的性質可得BP=B′P，
∴FP=B′P，
∴FP⊥CD，
∴B′，F(xiàn)，P三點構不成三角形，
∴F，B′重合分別延長AE，CD相交于點G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠AGD，
∵∠BAG=∠B′AG，
∴∠AGD=∠B′AG，
∴GB′=AB′=AB=5，
∵PB′（PF）⊥CD，
∴PB′∥AC，
∴△ACG∽△PB′G，
∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3，
∴B′C=

AB′2-AC2

=4，
∴CB′=5-4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9，
∴△ACG與△PB′G的相似比為9：5，
∴AC：PB′=9：5，
∵AC=3，
∴PB′=

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點評：本題考查的是圖形翻折變換的性質及相似三角形的判定與性質．根據(jù)題意作出輔助線，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．