Question

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，∠AND=90°，連接CM交DN于點E．
（1）求證：△ABN≌△CDM；
（2）猜想四邊形CDMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四邊形的性質得出AB=DC，BC=AD，∠B=∠ADC，再利用M，N分別是AD，BC的中點，得出BN=DM，進而利用全等三角形的判定方法得出答案；
（2）利用直角三角形形的性質結合菱形的判定方法得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，BC=AD，∠B=∠ADC，
∵M，N分別是AD，BC的中點，
∴BN=DM，
在△ABN和△CDM中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠CDM}\\{BN=MD}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；

（2）解：四邊形CDMN是菱形，
理由：∵M是AD的中點，∠AND=90°，
∴NM=AM=MD，
∵BN=NC=AM=DM，
∴NC=MN=DM，
∵NC$\stackrel{∥}{=}$DM，
∴四邊形CDMN是平行四邊形，
又∵MN=DM，
∴四邊形CDMN是菱形．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質、菱形的判定等知識，正確應用直角三角形的性質是解題關鍵．