Question

5．如圖，扇形AOB的半徑為2$\sqrt{3}$，圓心角為120°，C是半徑OA上一點，將扇形OAB沿BC折疊使點A落在點D處．若DC⊥AC，圖中陰影部分的面積為4$π+3\sqrt{3}-9$．

Answer 1

分析 過點B作BE⊥AO，垂足為E，作點O關(guān)于BC的對稱點O′，在Rt△OBE和Rt△CBE中，求得EB、OE的長，從而得到OC的長，最后根據(jù)S_扇DO′B-2S_△COB進行計算即可．

解答 解：如圖所示，過點B作BE⊥AO，垂足為E，作點O關(guān)于BC的對稱點O′．

∵∠DCA=90°，
∴∠ECO′=90°．
由翻折的性質(zhì)可知：∠OAB=∠O′CB=45°．
∴CE=EB．
∵∠AOB=120°，
∴∠EOB=60°．
∴∠OBE=30°．
∴OE=$\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
∴$\frac{BE}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{EB}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
解得：BE=3．
∴CE=3．
∴OC=3-$\sqrt{3}$．
陰影部分的面積=S_扇DO′B-2S_△COB=$\frac{120°π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360°}$-2×$\frac{1}{2}$×$（3-\sqrt{3}）×3$=4$π+3\sqrt{3}-9$．
故答案為：4$π+3\sqrt{3}-9$．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值、扇形的面積，將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積進行計算是解題的關(guān)鍵．