Question

15．如圖，已知直線y=$\frac{4}{3}$x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上找一動(dòng)點(diǎn)P，連接PA、PB，則△PAB面積的最大值是（　�。�

• A． 10
• B． 9
• C． 6+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
• D． 9$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如圖過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，延長(zhǎng)HC交⊙C于P′．點(diǎn)P與P′重合時(shí)，△PAB的面積最大，求出P′H、AB的值即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，延長(zhǎng)HC交⊙C于P′．

∵直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-4，
∴直線CH的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-4}\\{y=-\frac{4}{3}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{12}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
∴CH=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{9}{5}）^{2}}$=3，P′H=3+1=4，
∵A（5，0），B（0，-4），
∴AB=5，
∵點(diǎn)P與P′重合時(shí)，△PAB的面積最大，
∴△PAB面積的最大值為$\frac{1}{2}$×5×4=10，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找點(diǎn)P的位置確定最大值，屬于中考�？碱}型．