Question

11．如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點(diǎn)C，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求證：PB是⊙O的切線．
（2）若PB=3，DB=4，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由已知角相等，及對(duì)頂角相等得到三角形DOE與三角形POB相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠OBP為直角，即可得證；
（2）在直角三角形PBD中，由PB與DB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出PD的長(zhǎng)，由切線長(zhǎng)定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形OCD中，設(shè)OC=r，則有OD=8-r，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通過(guò)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠OBP=∠E=90°，
∵OB為圓的半徑，
∴PB為圓O的切線；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，
根據(jù)勾股定理得：PD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵PD與PB都為圓的切線，
∴PC=PB=3，
∴DC=PD-PC=5-3=2，
在Rt△CDO中，設(shè)OC=r，則有DO=4-r，
根據(jù)勾股定理得：（4-r）²=r²+2²，
解得：r=$\frac{3}{2}$，
∴OP=$\sqrt{P{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵∠E=∠PBO，∠DPE=∠OPB，
∴△DEP∽△OBP，
∴$\frac{DE}{OB}=\frac{DP}{OP}$，
∴DE=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．