Question

如圖1，在⊙O中，E是弧AB的中點，C為⊙O上的一動點（C與E在AB異側(cè)），連接EC交AB于點F，EB=（r是⊙O的半徑）．

（1）D為AB延長線上一點，若DC=DF，證明：直線DC與⊙O相切；

（2）如圖2，當(dāng)F是AB的四等分點且EF·EC=時，求EC的值．

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）EC=r

【解析】

試題分析：（1）證明：連結(jié)OC、OE，OE交AB于H，如圖1，

∵E是弧AB的中點，∴OE⊥AB，∴∠EHF=90°，

∴∠HEF+∠HFE=90°，

而∠HFE=∠CFD，∴∠HEF+∠CFD=90°，

∵DC=DF，∴∠CFD=∠DCF，

而OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，

∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，∴OC⊥CD，

∴直線DC與⊙O相切；

（2）【解析】
如圖2，連結(jié)OA，

∵弧AE=弧BE，∴AE=BE=r，

設(shè)OH=x，則HE=r﹣x，

在Rt△OAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，

在Rt△EAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（r﹣x）2=（r）2，

∴x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，

∴HE=r﹣r=r，

在Rt△OAH中，AH===，

∵OE⊥AB，∴AH=BH，

而F是AB的四等分點，∴HF=AH=，

在Rt△EFH中，EF===r，

∵EF•EC=r2，∴r•EC=r2，∴EC=r．

考點：圓的綜合運用