Question

11．如圖，已知一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+3的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．
（1）求點(diǎn)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)M為一次函數(shù)y=x+3的圖象上一點(diǎn)，若△ABM與△ABO的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)Q為y軸上的一點(diǎn)，若△ABQ為等腰三角形，請直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）對于直線y=-$\frac{1}{2}$x+3，令x=0得到y(tǒng)=3，令=0得到x=6，可得A（6，0），B（0，3）．
（2）如圖1中，作OM∥AB交直線y=x+3于M，求出直線OM的解析式，利用方程組可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用中線的性質(zhì)求出M′的坐標(biāo)即可．
（3）分種情形分別討論即可解決問題．

解答 解：（1）對于直線y=-$\frac{1}{2}$x+3，令x=0得到y(tǒng)=3，令=0得到x=6，
∴A（6，0），B（0，3）．

（2）如圖1中，作OM∥AB交直線y=x+3于M，

∵OM∥AB，
∴S_△ABM=S_△ABO，
∵直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴直線OM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，1）．
當(dāng)BM=BM′時(shí)，△ABM′與△ABM的面積相等，此時(shí)M′（2，5），
∴滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，1）或（2，5）．

（3）如圖2中，

在Rt△ABO中，AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
當(dāng)BA=BQ時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，3+3$\sqrt{5}$）或（0，3-3$\sqrt{5}$），
當(dāng)AB=AQ時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，-3），
當(dāng)QB=QA時(shí)，設(shè)QA=QB=a，在Rt△AOQ中，∵OA²+OQ²=AQ²，
∴（a-3）²+6²=a²，
解得a=$\frac{15}{2}$，
∴OQ=BQ-OB=$\frac{9}{2}$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，-$\frac{9}{2}$）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，3+3$\sqrt{5}$）或（0，3-3$\sqrt{5}$）或（0，-3）或（0，-$\frac{9}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形的面積、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，今天的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．