Question

3．已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC．
（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB上且點(diǎn)C和點(diǎn)D重合時(shí)，若點(diǎn)M、N分別是DB、EC的中點(diǎn)，則MN與EC的位置關(guān)系是MN⊥EC，MN與EC的數(shù)量關(guān)系是MN=$\frac{1}{2}EC$．
（2）探究：若把（1）小題中的△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖2，連接BD和EC，并連接DB、EC的中點(diǎn)M、N，則MN與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）若把（1）小題中的△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖3，連接BD和EC，并連接DB、EC的中點(diǎn)M、N，則MN與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中位線定理，結(jié)合等腰直角三角形性質(zhì)即可直接得出結(jié)論；
（2）連接EM并延長交BC于F，證明△EDM≌△FBM，運(yùn)用線段的等量代換即可求解；
（3）延長ED交BC于點(diǎn)F，連接AF、MF，結(jié)合矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)，合理運(yùn)用角的等量代換即可求解．

解答 解：（1）MN⊥EC，MN=$\frac{1}{2}$EC；
由等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，
可知，AE=BE=EC，DE⊥AB，
∵點(diǎn)M、N分別是DB、EC的中點(diǎn)，
∴MN∥AB，且MN=$\frac{1}{2}$BE，
∴MN⊥EC，MN=$\frac{1}{2}$EC；
（2）如圖2

連接EM并延長交BC于F，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠AFM，∠EDM=∠MBF，
又BM=MD，
在△EDM和△FBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠AFM}\\{∠EDM=∠MBF}\\{BM=MD}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△FBM，
∴BF=DE=AE，EM=FM，
∴MN=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}$（BC-BF）=$\frac{1}{2}$（AC-AF）=$\frac{1}{2}$EC，
且MN⊥EC；
（3）如圖3

延長ED交BC于點(diǎn)F，連接AF、MF，則AF為矩形ACFE對(duì)角線，所以必經(jīng)過EC的中點(diǎn)N且AN=NF=EN=NC．
在Rt△BDF中，M是BD的中點(diǎn)，∠B=45°，
∴FD=FB，
∴FM⊥AB，
∴MN=NA=NF=NC，
即MN=$\frac{1}{2}$EC，
∴∠NAM=∠AMN，∠NAC=∠NCA，
∴∠MNF=∠NAM+∠AMN=2∠NAM，∠FNC=∠NAC+∠NCA=2∠NAC，
∴∠MNC=∠MNF+∠FNC=2∠NAM+2∠NAC=2（∠NAM+∠NAC）=2∠DAC=90°，
∴∠MNC=90°，
即MN⊥EC且MN=$\frac{1}{2}$EC．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查集幾何變換，熟悉全等三角形的證明和矩形的性質(zhì)，會(huì)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解題，能抓住在圖形變換中的不變關(guān)系是解題的關(guān)鍵．