Question

5．把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．
例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²
（1）如圖2，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形，試用不同的形式表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來(lái)．
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：
已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a²+b²+c²的值．
（3）如圖3，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF．若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b=10，ab=20，請(qǐng)求出陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）此題根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種可以是3個(gè)正方形的面積和6個(gè)矩形的面積，種是大正方形的面積，可得等式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S_陰影=正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積-三角形BGF的面積-三角形ABD的面積求解．

解答 解：（1）（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac；

（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a²+b²+c² =（a+b+c）²-2（ab+ac+bc）=121-76=45；

（3）∵a+b=10，ab=20，
∴S_陰影=a²+b²-$\frac{1}{2}$（a+b）•b-$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$b²-$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$（a+b）²-$\frac{3}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×10²-$\frac{3}{2}$×20=50-30=20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了完全平方公式幾何意義，解題的關(guān)鍵是注意圖形的分割與拼合，會(huì)用不同的方法表示同一圖形的面積．