Question

13．角平分線上的點到角兩邊的距離相等．這一性質(zhì)在解決圖形面積問題時有何妙用呢？閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，三條角平分線的交點O到三邊的距離為r．連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形．
∵S=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$AC•r+$\frac{1}{2}$AB•r=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r，∴r=$\frac{2S}{a+b+c}$
（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD的四條角平分線交于O點，如圖（2），各邊長分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求點O到四邊的距離r；
（2）理解應(yīng)用：如圖（3），在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=BC=13，對角線BD=20，點O₁與O₂分別為△ABD與△BCD的三條角平分線的交點，設(shè)它們到各自三角形三邊的距離為r₁和r₂，求$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）已知已給出示例，我們仿照例子，連接OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個小三角形，且每個三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似．仿照證明過程，r易得；
（2）（1）中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，如是我們再相比即得結(jié)果．但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過點D作AB垂線，進(jìn)一步易得BD的長，則r₁、r₂、$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$易得．

解答 解：（1）如圖，連接OA、OB、OC、OD，
∵S=S_△AOB+S_△BOC+S_△COD+S_△AOD=$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$br+$\frac{1}{2}$cr+$\frac{1}{2}$dr=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，
∴r=$\frac{2S}{a+b+c+d}$；
 
（2）∵AB∥CD，
∴S_△ABD：S_△BCD=AB：CD=21：11；
∵r₁=$\frac{2{S}_{△ABD}}{AB+BD+AD}$=$\frac{2{S}_{△ABD}}{54}$，
r₂=$\frac{2{S}_{△CDB}}{CD+CB+DB}$=$\frac{2{S}_{△CDB}}{44}$，
∴$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{{S}_{△ABD}}{27}$：$\frac{{S}_{△BCD}}{22}$=$\frac{{S}_{△ABD}}{27}$×$\frac{22}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{21×22}{27×11}$=$\frac{14}{9}$．

點評 本題考查了角平分線的定義，三角形面積計算以及等腰梯形等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用，這類創(chuàng)新性題目已經(jīng)成為新課標(biāo)熱衷的考點，同時要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注重自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)．