Question

3．將n個邊長都為2cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點A₁、A₂、…、A_N分別是正方形的中心，則2016個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為2015．

Answer 1

分析 根據題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的$\frac{1}{4}$，已知兩個正方形可得到一個陰影部分，則n個這樣的正方形重疊部分即為（n-1）陰影部分的和．

解答 解：作A₁E⊥A₂E，A₁F⊥A₂H．
則∠FA₁E=∠HA₁G=90°，
∴∠FA₁H=∠GA₁E，
在△A₁HF和△A₁GE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F{A}_{1}H=∠G{A}_{1}E}\\{{A}_{1}F={A}_{1}E}\\{∠{A}_{1}FH=∠{A}_{1}EG}\end{array}\right.$，
∴△A₁HF≌△A₁GE，
∴四邊形A₂HA₁G的面積=四邊形A₁EA₂F的面積=$\frac{1}{4}$×4=1，
同理，各個重合部分的面積都是1，
則n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為1×（n-1）=n-1（cm²），
∴2016個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為：2016-1=2015（cm²），
故答案為：2015．

點評 本題考查了正方形的性質，解決本題的關鍵是得到n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和的計算方法，難點是求得一個陰影部分的面積．