Question

9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c分別交x軸于A（4，0）、B（-1，0），交y軸于點C（0，-3），過點A的直線y=-$\frac{3}{4}$x+3交拋物線于另一點D．
（1）求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；
（2）若點P位x軸上的一個動點，點Q在線段AC上，且Q到x軸的距離為$\frac{9}{5}$，連接PC、PQ，當(dāng)△PCQ的周長最小時，求出點P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的結(jié)論下，連接PD，在平面內(nèi)是否存在△A₁P₁D₁，使△A₁P₁D₁≌△APD（點A₁、P₁、D₁的對應(yīng)點分別是A、P、D，A₁P₁平行于y軸，點P₁在點A₁上方），且△A₁P₁D₁的兩個頂點恰好落在拋物線上？若存在，請求出點A₁的橫坐標(biāo)m，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線與x軸的兩個交點為（4，0）和（-1，0），所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）（x+1），然后把（0，3）代入解析式即可求出拋物線的解析式，聯(lián)立直線解析式和拋物線解析式即可求出D的坐標(biāo)；
（2）要求△PCQ的最小值，由于點Q是固定點，所以CQ是固定不變的，所以還需要求出PC+PQ最短即可，作出點C關(guān)于x軸的對稱點E，連接EQ后與x軸交于點P，此時P點能夠使得PC+PQ最短；
（3）由題意畫出圖形可知，點D1的位置有兩種情況，一種是D₁在直線A₁P₁的左邊，另一種是D₁在直線A₁P₁的右邊，另外△A₁P₁D₁的兩個頂點恰好落在拋物線上有三種情況，一是A₁與P₁在拋物線上，二是P₁與D₁在拋物線上，三是A₁與D₁在拋物線上，然后根據(jù)題意用含m的式子表示A₁、P₁、D₁的坐標(biāo)出來，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可求出m的值．

解答 解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（4，0）和B（-1，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）（x+1），
把C（0，-3）代入y=a（x-4）（x+1），
∴-3=-4a，
∴a=$\frac{3}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{3}{4}$（x-4）（x+1）=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{9}{4}x-3}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$，
解得：x=-2或x=4（舍去），
把x=-2代入y=-$\frac{3}{4}$x+3，
y=$\frac{9}{2}$，
∴D的坐標(biāo)為（-2，$\frac{9}{2}$）；

（2）要使△PCQ的周長最小，
即只需要PC+PQ最小，
由題意知：Q到x軸的距離為$\frac{9}{5}$，
即點Q的縱坐標(biāo)為-$\frac{9}{5}$，
設(shè)直線AC的解析式為y=k₁x+b₁，
把A（4，0）和C（0，-3）代入y=k₁x+b₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4{k}_{1}+_{1}}\\{-3=_{1}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1=}\frac{3}{4}}\\{_{1}=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3，
把y=-$\frac{9}{5}$代入y=$\frac{3}{4}$x-3，
∴x=$\frac{8}{5}$，
∴Q的坐標(biāo)為（$\frac{8}{5}$，-$\frac{9}{5}$），
設(shè)C關(guān)于x軸對稱的點為E，如圖1，
∴E的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線EQ的解析式為y=k₂x+b₂，
把Q（$\frac{8}{5}$，-$\frac{9}{5}$）和E（0，3）代入y=k₂x+b₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{5}=\frac{8}{5}{k}_{2}+_{2}}\\{3=_{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-3}\\{_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴直線EQ的解析式為y=-3x+3，
令y=0代入y=-3x+3，
∴x=1，
∴P的坐標(biāo)為（1，0）時，△PCQ的周長最��；

（3）過點D作DF⊥x軸于點F，
過點D₁作D₁F₁⊥A₁P₁，交A₁P₁的延長線于點F₁，
∵△A₁P₁D₁≌△APD，
∴AF=A₁F₁=6，PF=P₁F₁=3，DF=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)A₁與P₁在拋物線上時，
∵A₁P₁∥y軸，
∴此情況不存在；

當(dāng)P₁與D₁在拋物線上時，
∵A₁的橫坐標(biāo)為m，
∴P₁的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3），
若點D₁在直線A₁P₁的右側(cè)時，如圖2，
此時D的橫坐標(biāo)為m+$\frac{9}{2}$，
把x=m+$\frac{9}{2}$代入y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
∴D₁的坐標(biāo)為（m+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$），
∴F₁的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$），
∴P₁F₁=（$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$）-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）
=$\frac{27}{4}$m+$\frac{81}{16}$，
∴$\frac{27}{4}$m+$\frac{81}{16}$=3，
∴m=-$\frac{11}{36}$，
若點D₁在直線A₁P₁的左側(cè)時，如圖3，
此時D的橫坐標(biāo)為m-$\frac{9}{2}$，
把x=m-$\frac{9}{2}$代入y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
∴D₁的坐標(biāo)為（m+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$），
∴F₁的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$），
∴P₁F₁=（$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$）-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）
=-$\frac{27}{4}$m+$\frac{405}{16}$=3，
∴m=$\frac{119}{36}$，

當(dāng)A₁與D₁在拋物線上時，
∵A₁的橫坐標(biāo)為m，
∴A₁的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3），
若點D₁在直線A₁P₁的右側(cè)時，如圖2，
此時D的橫坐標(biāo)為m+$\frac{9}{2}$，
把x=m+$\frac{9}{2}$代入y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
∴D₁的坐標(biāo)為（m+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$），
∴F₁的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$），
∴A₁F₁=（$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$）-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）
=$\frac{27}{4}$m+$\frac{81}{16}$，
∴$\frac{27}{4}$m+$\frac{81}{16}$=6，
∴m=$\frac{5}{36}$，
若點D₁在直線A₁P₁的左側(cè)時，如圖3，
此時D的橫坐標(biāo)為m-$\frac{9}{2}$，
把x=m-$\frac{9}{2}$代入y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
∴D₁的坐標(biāo)為（m-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$），
∴F₁的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$），
∴A₁F₁=（$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$）-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）
=-$\frac{27}{4}$m+$\frac{405}{16}$=6，
∴m=$\frac{103}{36}$，
綜上所述，當(dāng)m=-$\frac{11}{36}$、$\frac{119}{36}$、$\frac{5}{36}$、$\frac{103}{36}$時，能滿足題意．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求解析式，聯(lián)立解析式求交點問題，全等三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，綜合程度高，難度較大，需要學(xué)生利用分類的思想進行解答．