Question

6．現(xiàn)有一矩形ABCD和一等腰直角三角形BEF按如圖1所示的位置放置（AB和BE重合），其中AB=25，AD=48，將△BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜90），在旋轉(zhuǎn)過程中，EF與AD交于點G，如圖2所示．

（1）求證：AG=EG；
（2）連接CE、DE，試判斷是否存在以DE為腰的等腰三角形CDE，若存在，請求出此時α的度數(shù)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，以AB為邊在矩形內(nèi)部作正方形ABMN，直角邊EF所在的直線交MN于點P，交BC于點Q，設(shè)AG=x，PN=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）連接BG，證明Rt△BAG≌Rt△BEG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）分DE=CD、DE=CE兩種情況，根據(jù)三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)解答即可；
（3）證明Rt△BEP≌Rt△BMP，得到EP=MP，同理得到AG=EG，用x表示出GN，根據(jù)勾股定理列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）如圖2，連接BG，
在Rt△BAG和Rt△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAG≌Rt△BEG，
∴AG=EG；
（2）存在．
當(dāng)DE=CD時，可知DE=25，
連接BD，在Rt△BCD中，BD²=BC²+CD²=2929，
∴BE+DE=25+25=50＜$\sqrt{2929}$，
即不存在△BDE，
∴不可能出現(xiàn)DE=CD．
當(dāng)DE=CE時，可知點E在CD的垂直平分線上，
過點E作EH⊥BC于點H，
∴EH=$\frac{25}{2}$．
在Rt△BEH中，BE=25，EH=$\frac{25}{2}$，
∴∠EBH=30°，
∴∠ABE=60°．
綜上所述，存在以DE為腰的等腰三角形CDE，此時α的度數(shù)為60°．
（3）如圖3，連接BP，
在Rt△BEP和Rt△BMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BM}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴Rt△BEP≌Rt△BMP，
∴EP=MP，
同理，AG=EG，
∵PN=y，
∴EP=MP=25-y．
∵AG=EG，
∴GP=x+25-y．
在Rt△GNP中，∵GN=25-x，NP=y，
∴y²+（25-x）²=（x+25-y）²，
化簡，得y=$\frac{50x}{25+x}$．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及函數(shù)解析式的確定，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的應(yīng)用．