Question

7．如圖，四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，以AB為直徑的⊙O與邊CD切于點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)F．
（1）求證：AD+BC=AB；
（2）若AD=1，CD=4，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OE，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OE⊥CD，再證明OE為梯形ABCD的中位線得到OE=$\frac{1}{2}$（AD+BC），所以AD+BC=AB；
（2）連結(jié)AF，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠AFB=90°，則AF∥CD，易得四邊形AGED為矩形，則GE=AD=1，AG=DE=$\frac{1}{2}$CD=2，設(shè)⊙O的半徑為r，則OG=r-1，OA=r，然后在Rt△AOG中利用勾股得到2²+（r-1）²=r²，再解方程求出r即可．

解答 （1）證明：連結(jié)OE，如圖，
∵⊙O與邊CD切于點(diǎn)E，
∴OE⊥CD，
∵∠C=∠D=90°，
∴OE∥AD∥BC，
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴OE為梯形ABCD的中位線，
∴OE=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴AD+BC=AB；
（2）解：連結(jié)AF，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°，
∵∠C=90°，
∴AF∥CD，
∴四邊形AGED為矩形，
∴GE=AD=1，AG=DE=$\frac{1}{2}$CD=2，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OG=r-1，OA=r，
在Rt△AOG中，2²+（r-1）²=r²，解得r=$\frac{5}{2}$，
即⊙O的半徑長為$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．