Question

20．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E為CD的中點(diǎn)，P為正方形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→E運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為x，△APE的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程為多少時(shí)，△APE的面積為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）分別從0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤2.5去分析求解即可求得答案；
（2）分別從0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤2.5時(shí)，y=$\frac{1}{3}$，去求解即可求得答案．

解答 解：（1）①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，AP=x，AD=1，則y=$\frac{1}{2}$×x×1=$\frac{1}{2}$x；
②如圖（2），當(dāng)1＜x≤2時(shí)，BP=x-1，CP=2-x，
∴y=S_梯形ABCE-S_△ABP-S_△CPE=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$+1）×1-$\frac{1}{2}$×1×（x-1）-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（2-x）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$x；
③如圖（3），當(dāng)2＜x≤2.5時(shí)，EP=2.5-x，
∴y=$\frac{1}{2}$×（2.5-x）×1=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2}$x；

（2）①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{3}$，
解得：x=$\frac{2}{3}$；
②當(dāng)1＜x≤2時(shí)，$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$x=$\frac{1}{3}$，
解得：x=$\frac{5}{3}$；
③當(dāng)2＜x≤2.5時(shí)，$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{3}$，
解得：x=$\frac{11}{6}$（舍去）；
綜上：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程為$\frac{2}{3}$或$\frac{5}{3}$時(shí)，△APE的面積為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正方形的性質(zhì)以及三角形的面積問(wèn)題．注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．