Question

閱讀材料：

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+=（1+）²．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)a+b=（m+n）²（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b=m²+2n²+2mn．

∴a=m²+2n²，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b=，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=　　　　　　，b=　　　　　　；

（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：　　　　　　+　　　　　　=（　　　　　　+　　　　　　）²；

（3）若a+4=，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值？

Answer 1

【考點】二次根式的混合運(yùn)算．

【分析】（1）根據(jù)完全平方公式運(yùn)算法則，即可得出a、b的表達(dá)式；

（2）首先確定好m、n的正整數(shù)值，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可求出a、b的值；

（3）根據(jù)題意，4=2mn，首先確定m、n的值，通過分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可確定好a的值．

【解答】解：（1）∵a+b=，

∴a+b=m²+3n²+2mn，

∴a=m²+3n²，b=2mn．

故答案為：m²+3n²，2mn．

 

（2）設(shè)m=1，n=1，

∴a=m²+3n²=4，b=2mn=2．

故答案為4、2、1、1．

 

（3）由題意，得：

a=m²+3n²，b=2mn

∵4=2mn，且m、n為正整數(shù)，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=2²+3×1²=7，或a=1²+3×2²=13．

【點評】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于熟練運(yùn)算完全平方公式和二次根式的運(yùn)算法則．