Question

如圖，△ACB內(nèi)接于⊙O，弦AB等于半徑長(zhǎng)，點(diǎn)D是

CA

的中點(diǎn)，設(shè)∠CAB=α，∠ABD=β．
（1）當(dāng)α=80°時(shí)，求β的度數(shù)；
（2）探究α與β的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,等邊三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OA，OB，由于弦AB等于半徑長(zhǎng)，于是可判斷△AOB為等邊三角形，則∠AOB=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=30°，再利用三角形內(nèi)角和定理得∠ABC=70°，由于點(diǎn)D是

CA

的中點(diǎn)，所以β=

1

2

∠ABC=35°；
（2）由（1）得∠ACB=30°，β=∠ABD=

1

2

∠ABC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到30°+α+2β=180°，即α+2β=150°．

解答：解：（1）連接OA，OB，如圖，
∵弦AB等于半徑長(zhǎng)，
∴△AOB為等邊三角形．
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=30°，
又∵∠CAB=80°，
∴∠ABC=70°．
∵點(diǎn)D是

CA

的中點(diǎn)，
∴β=∠ABD=

1

2

∠ABC=35°；

（2）∵∠ACB=30°，β=∠ABD=

1

2

∠ABC；
∴30°+α+2β=180°，
∴α+2β=150°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．