Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，點E是$\widehat{AB}$的中點．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若AB=10，BC=6，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，證明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，證明結(jié)論；
（2）連接AE、BE，作BM⊥CE于M，分別求出CM和EM的長，求和得到答案．

解答 （1）證明：如圖1，連接OC，
∵PA切⊙O于點A，
∴∠PAO=90°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOP=∠COP，
在△PAO和△PCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOP=∠COP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∴PC是⊙O的切線；
（2）解：如圖2，連接AE、BE，作BM⊥CE于M，
∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，
∵點E是$\widehat{AB}$ 的中點，
∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，
CM=MB=3$\sqrt{2}$，
BE=AB•cos45°=5$\sqrt{2}$，
∴EM=$\sqrt{E{B}^{2}-B{M}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
則CE=CM+EM=7$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，添加輔助線是解題的關(guān)鍵，記住特殊三角形三邊關(guān)系，屬于中考�？碱}型．