Question

已知△AOB在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，3），B（2，0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-2，0）的一條直線交線段AO于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，S_△COD=S_△ADE．
（1）求直線CD的表達(dá)式；
（2）若直線CD交y軸于點(diǎn)F，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使△FOC≌△FOP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，分別求得點(diǎn)D，E的縱坐標(biāo)，根據(jù)S_△COD=S_△ADE即可解題；
（2）在圖中畫(huà)出點(diǎn)P存在的位置，使得△FOC≌△FOP，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方式解本題．

解答：解：（1）過(guò)A，D，E作AH⊥OB，DM⊥OB，EN⊥OB，

設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，代入C點(diǎn)得，b=2k，
∴直線CD解析式為y=kx+2k，
∵直線AB的解析式為y=-3x+6，直線OA的解析式為y=3x，
∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為

6k

k-3

，E點(diǎn)縱坐標(biāo)為

12k

k+3

，
∵△ADE面積=△ABO面積-四邊形DEBO的面積，
四邊形DEBO的面積=△EBC面積-△COD面積；
∴

1

2

×2×3-（

1

2

×4×

12k

k+3

-

1

2

×2×

6k

k-3

）=

1

2

×2×

6k

k-3

解得：k=

3

7

，
∴直線CD解析式為y=

3

7

x+

6

7

．
（2）直線CD與y軸交點(diǎn)為：當(dāng)x=0時(shí)，y=

6

7

，
則點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，

6

7

），

從圖中可以看出當(dāng)P縱坐標(biāo)為

6

7

，橫坐標(biāo)為2或-2時(shí)，△FOC≌△FOP，
或者P與D點(diǎn)重合時(shí)，△FOC≌△FOP，
故存在點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0）或（2，

6

7

）或（-2，

6

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，考查了一次函數(shù)的求解問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合解題的方法，本題中求得k的值是解題的關(guān)鍵．