Question

20．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是y軸、x軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直角邊AC交x軸于點(diǎn)D，斜邊BC交y軸于點(diǎn)E．
（1）如圖（1），已知C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖（2），當(dāng)?shù)妊黂t△ABC運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)D恰為AC中點(diǎn)時(shí)，連接DE，求證：∠ADB=∠CDE；
（3）如圖（3），若點(diǎn)A在x軸上，且A（-4，0），點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，連結(jié)CD交y軸于點(diǎn)P，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP的長(zhǎng)度是否變化？若變化請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，請(qǐng)求出BP的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）如圖（1），過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，構(gòu)建全等三角形：△ACF≌△ABO（AAS），結(jié)合該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等易得OA的長(zhǎng)度，由點(diǎn)A是y軸上一點(diǎn)可以推知點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AC交y軸于點(diǎn)G，則△ACG≌△ABD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G，由∠DCE=∠GCE=45°，可證△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，從而得到結(jié)論；
（3）BP的長(zhǎng)度不變，理由如下：如圖（3），過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，構(gòu)建全等三角形：△CBE≌△BAO（AAS），結(jié)合全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知：CE=BO，BE=AO=4．再結(jié)合已知條件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPE≌△DPB，故BP=EP=2．

解答 解：（1）如圖（1），過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，
∵CF⊥y軸于點(diǎn)F，
∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠BAO=90°，
∴∠ACF=∠BAO，
在△ACF和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BAO}\\{∠CFA=∠AOB=90°}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABO（AAS），
∴CF=OA=1，
∴A（0，1）；                 

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AC交y軸于點(diǎn)G，
∵CG⊥AC，
∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠AGC=∠ADO，
在△ACG和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠BAD=90°}\\{∠AGC=∠ADO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=CD，∠ADB=∠G，
∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，
在△DCE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CG}\\{∠DCE=∠GCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE=∠G，
∴∠ADB=∠CDE；

（3）BP的長(zhǎng)度不變，理由如下：
如圖（3），過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E．
∵∠BAC=90°，
∴∠CBE+∠ABO=90°．
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO．
∵∠CEB=∠AOB=90°，AB=AC，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∴CE=BO，BE=AO=4．
∵BD=BO，
∴CE=BD．
∵∠CEP=∠DBP=90°，∠CPE=∠DPB，
∴△CPE≌△DPB（AAS），
∴BP=EP=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形綜合題．主要利用了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．