Question

9．如圖，小東將一張長AD為12、寬AB為4的矩形紙片按如下方式進(jìn)行折疊：在紙片的一邊BC上分別取點P，Q，使得BP=CQ，連結(jié)AP、DQ，將△ABP、△DCQ分別沿AP、DQ折疊得△APM，△DQN，連結(jié)MN．小東發(fā)現(xiàn)線段MN的位置和長度隨著點P、Q的位置變化而發(fā)生改變．
（1）請在圖1中過點M，N分別畫ME⊥BC于點E，NF⊥BC于點F．
求證：①ME=NF；②MN∥BC．
（2）如圖1，若BP=3，求線段MN的長；
（3）如圖2，當(dāng)點P與點Q重合時，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B=∠C=90°，AB=CD．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠APB=∠DQG．推出△MEP≌△NPQ，由全等三角形的性質(zhì)即可得到ME=NF；②根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形EFMN是矩形，由矩形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）證明△EMP∽△MAG，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，以及矩形的性質(zhì)即可求解；
（3）設(shè)PM、PN分別交AD于點E、F，證明△PEF∽△PMN，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答 解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD．
∵在△ABP和△DCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DCQ，
∴∠APB=∠DQG．
∴∠MPE=180°-2∠APB=180°-2∠DQC=∠NQF．
∴在△MEP和△NPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPE=∠NQF}\\{∠MEP=∠NPQ}\\{MP=NQ}\end{array}\right.$，
∴△MEP≌△NPQ，
∴ME=NF；
②∵M(jìn)E∥NF，ME=NF，
∴四邊形EFMN是矩形，
∴MN∥BC；

（2）延長EM、FN交AD于點G、H，
∵AB=4，BP=3，
∴AM=4，PM=3．
∵AD∥BC，
∴EM⊥AD．
∵∠AMP=∠MEP=∠MGA，
∴∠EMP=∠MAG．
∴△EMP∽△MAG．
∴$\frac{AG}{EM}$=$\frac{MG}{EP}$=$\frac{AM}{MP}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)AG=4a，MG=3b．
∵四邊形ABEG是矩形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a=3b+3}\\{3a+4b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{24}{25}}\\{b=\frac{7}{25}}\end{array}\right.$，
∴AG=$\frac{96}{25}$，同理DH=$\frac{96}{25}$．
∴MN=$\frac{108}{25}$；

（3）設(shè)PM、PN分別交AD于點E、F．
∵∠EPA=∠APB=∠PAE，
∴EA=EP．
設(shè)EA=EP=x，
在直角△AME中，4²+（6-x）²=x²，
解得：x=$\frac{13}{9}$，
∴EF=12-2×$\frac{13}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∵EF∥MN，
∴△PEF∽△PMN，
∴$\frac{EF}{MN}$=$\frac{PE}{PM}$，即$\frac{\frac{10}{3}}{MN}=\frac{\frac{13}{3}}{6}$，
解得：MN=$\frac{60}{13}$．

點評 本題考查了圖形的折疊，矩形的判定和性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，注意在求線段的長時常用的方法是利用相似和解直角三角形．