Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連AD，作EA⊥AD，且使AD=AE，連BE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．求證：BF=EF．

Answer 1

分析 作EM⊥AF于M，證△ADC≌△EAM，求出BC=AC=EM，證△BCF≌△EMF，推出結(jié)論即可．

解答 證明：作EM⊥AF于M，
∵∠ACB=90°，
∴∠M=∠ACD，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠AEM=90°，∠EAM+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠AEM，
在△ADC和△EAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠AEM}\\{∠ACD=∠M}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EAM（AAS），
∴AC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=EM，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠M，
在△BCF和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠M}\\{∠BFC=∠EFM}\\{BC=EM}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△EMF（AAS），
∴BF=FE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．