Question

11．已知拋物線y=x²+2x-3與x軸交于A，B（點A在點B的左側(cè)）兩單，與y軸交于點C．
（1）填空：點B的坐標是（1，0），直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x-3；
（2）設(shè)點D（-2，a），請問，當a為何值時，DB+DC值最�。�
（3）若直線AC上是否存在一點P，使以點A、O、P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在y=x²+2x-3中令y=3可求得A、B坐標，再利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；
（2）可求得點B關(guān)于直線x=-2的對稱點B′的坐標，連接B′C，交直線x=-2于點D，則D滿足條件，利用待定系數(shù)法可求得直線B′C的解析式，令x=-2可求得a的值；
（3）可設(shè)出P點坐標，可表示出AP、AO、AB、AC的長，當△AOP和△ABC相似時，分兩種情況△APO∽△ACB和△APO∽△ABC，再利用相似三角形的性質(zhì)可分別求得P點坐標．

解答 解：（1）在y=x²+2x-3中，令y=0可得x²+2x-3=0，解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0），且C（0，-3），
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把A、C坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x-3，
故答案為：1；0；-x-3；
（2）由題意可知點D在直線x=-2上，
∵B（1，0），
∴點B關(guān)于直線x=-2的對稱點B′的坐標為（-5，0），
連接B′C，交直線x=-2于點D，如圖1，

則BD=B′D，
∴BD+CD=B′D+CD=B′C，
∴此時BD+CD最小，
設(shè)直線B′C的解析式為y=mx+n，把B′、C的坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-5m+n}\\{-3=n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{5}}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直線B′C的解析式為y=-$\frac{3}{5}$x-3，
把D點坐標代入可得a=-$\frac{3}{5}$×（-2）-3=-$\frac{9}{5}$，
即a的值為-$\frac{9}{5}$；
（3）∵P點在直線AC上，
∴可設(shè)P點坐標為（x，-x-3），
由條件可知P點只能在線段AC上，
∴-3＜x＜0，
∴x+3＞0，
∴AO=3，AB=4，AC=3$\sqrt{2}$，AP=$\sqrt{（x+3）^{2}+（-x-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$（x+3），
當△AOP和△ABC相似時，有兩種情況：即△APO∽△ACB和△APO∽△ABC，
當△APO∽△ACB時，則有$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AO}{AB}$，即$\frac{\sqrt{2}（x+3）}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$，解得x=-$\frac{3}{4}$，此時P點坐標為（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{9}{4}$）；
當△APO∽△ABC時，則有$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AO}{AC}$，即$\frac{\sqrt{2}（x+3）}{4}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，解得x=-1，此時P點坐標為（-1，-2）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{9}{4}$）或（-1，-2）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點．在（1）中注意二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的應(yīng)用，在（2）中確定出D點的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中分兩種情況進行求解是解題的關(guān)鍵．本題考查知識比較基礎(chǔ)，難度不大．