Question

如圖，將菱形ABCD放在直角坐標(biāo)系中，使得點(diǎn)B與原點(diǎn)重合，對角線BD在x軸上，點(diǎn)A恰好在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上，已知∠A=60°，菱形ABCD的邊長為24cm，
（1）求函數(shù)y=

k

x

的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P以4cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿線路AB-BD做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以5cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā)沿路線DC-CB-BA做勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點(diǎn)，若按角的大小進(jìn)行分類，試確定△AMN是哪一類三角形，并說明理由；
（3）設(shè)（2）中的點(diǎn)P、Q分別從M、N同時(shí)沿原路返回，點(diǎn)P的速度不變，點(diǎn)Q的速度改變?yōu)閍cm/s，經(jīng)過3秒后，P、Q分別到達(dá)E、F兩點(diǎn)，若△BEF與（2）中的△AMN相似，試求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥OD于E．根據(jù)菱形的性質(zhì)知∠OAE=30°，所以通過解直角△OAE可以求得OE、AE的長度；然后由點(diǎn)A所在的象限確定其坐標(biāo)，則k=xy；
（2）求出P Q走的距離，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可推出答案；
（3）分為三種情況：根據(jù)相似，得到比例式，求出Q走的距離，即可求出答案．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AE⊥OD于E．
∵四邊形AOCD是菱形，∠OAD=60°，
∴OA=24，∠OAE=30°，
∴OE=

1

2

OA=12，AE=OA•cos30°=12

3

，
∴A（12，12

3

）．
又∵點(diǎn)A恰好在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上，
∴k=12×12

3

=144

3

，
則反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=

144 3

x

；

（2）12秒時(shí)，P走了4×12=48，
∵AO+OD=24+24=48，
∴P到D點(diǎn)，
同理Q到AO的中點(diǎn)上，
∵AD=OD，
∴MN⊥AO，
∴△AMN是直角三角形．

（3）有三種情況：如圖（3）
∠ANM=∠EFB=90°，∠A=∠DBF=60°，DE=3×4=12=

1

2

AD，
根據(jù)相似三角形性質(zhì)得：BF=

1

2

AN=6，
∴NB+BF=12+6=18，
∴a=18÷3=6，
同理：如圖2，求出a=2；
如圖4，a=12．
∴a的值是2或6或12．

點(diǎn)評：本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．