Question

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，以對角線AC為直徑的⊙O分別交BC，CD于M，N．若AB=13，BC=14，CM=9，則MN的長度為$\frac{180}{13}$．

Answer 1

分析 連結AM，AN，根據圓周角定理可知△ABM是直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的長；易證△AMN∽△ACD，根據相似三角形的性質即可求出MN的長．

解答 解：連結AM，AN，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AMC=90°，∠ANC=90°，
∵AB=13，BM=5，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=12，
∵CM=9，
∴AC=15，
∵∠MCA=∠MNA，∠MCA=∠CAD，
∴∠MNA=∠CAD，
∵∠AMN=∠ACN，
∴∠AMN=∠ACN，
∵△NMA∽△ACD，
∴AM：MN=CD：AC，
∴12：MN=13：15，
∴MN=$\frac{180}{13}$．
故答案為：$\frac{180}{13}$．

點評 本題考查了圓周角定理運用、勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質，題目的綜合性較強，難度中等，解題的關鍵是添加輔助線構造相似三角形．