Question

6．如圖，⊙O的直徑AC與弦BD交于點F，點E是DB延長線上的一點，∠EAB=∠ADB．
（1）求證：EA是⊙O的切線；
（2）已知點B是EF的中點，已知⊙O的半徑為3，CF：AF=1：2．求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接CD，由圓周角定理得出∠ADC=90°，∠BAC=∠EDC，得出∠ADB+∠EDC=90°，證出∠EAC=90°，即可得出結論；
（2）連接BC，由圓周角定理得出∠ABC=90°，∠CBA=∠ABC=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質得出AB=$\frac{1}{2}$EF=BF，得出∠BAC=∠AFE，證明△EAF∽△CBA，得出$\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{AC}$，求出AB，再根據(jù)勾股定理求出AE即可．

解答 （1）證明：如圖1所示：連接CD，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，即EA⊥OA，
∴EA是⊙O的切線；
（2）解：如圖2所示：連接BC，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵∠EAF=90°，B是EF的中點，
∴AB=$\frac{1}{2}$EF=BF，
∴∠BAC=∠AFE，
∴△EAF∽△CBA，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{AC}$，
∵⊙O的半徑為3，CF：AF=1：2，
∴AC=6，AF=4，CF=2，
∴$\frac{4}{AB}=\frac{2AB}{6}$，
解得：AB=2$\sqrt{3}$，
∴EF=4$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{E{F}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的判定、勾股定理、相似三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、圓周角定理；本題有一定難度，特別是（2）中，需要證明三角形相似和勾股定理才能得出結果．