Question

1．如圖，A（-4，0），B（0，4），C，D分別為OB，OA的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，DB上一點(diǎn)，CE=AC，BD=BF，連接EF．
（1）求直線EF的解析式；
（2）求證：EF⊥AC．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥x軸于M，F(xiàn)G⊥y軸于G，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形全等的性質(zhì)求出OM、EM、FG、BG的長(zhǎng)，求出E、F的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出解析式；
（2）求出直線EF與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)證明結(jié)論．

解答 解：（1）作EM⊥x軸于M，F(xiàn)G⊥y軸于G，
∵A（-4，0），B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
∵C，D分別為OB，OA的中點(diǎn)，
∴OD=2，OC=2，
由題意可知，EM∥OB，CE=AC，
∴EM=2OC=4，OM=OA=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)（4，4），
∵FG∥OD，BD=BF，
∴FG=OD=2，BG=OB=4，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)（2，8），
設(shè)EF的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=4}\\{2k+b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴EF的解析式為y=-2x+12．
（2）當(dāng)y=0時(shí)，即=-2x+12=0，x=6，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-6，0），
則ON=6，
∵OA=4，OC=2，由勾股定理，AC=2$\sqrt{5}$，
$\frac{AC}{AN}$=$\frac{2\sqrt{5}}{10}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{OA}{AE}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AC}{AN}$=$\frac{AO}{AE}$，∠A=∠A，
∴△AOC∽△AEN，
∴∠AOC=∠AEN=90°，
∴EF⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．