Question

（1）如圖①，已知AB∥EF，P是直線AB，EF外一點(diǎn)，連結(jié)PA，PE，探究∠PAB，∠PEF及∠APE的三者之間的關(guān)系．
（2）若改變點(diǎn)P的位置如圖②、③、④等位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)寫出三者之間的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PC∥AB，根據(jù)平行公理求出PC∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠APC=∠PAB，∠CPE=∠PEF，再根據(jù)∠APE=∠APC+∠CPE等量代換即可得證；
（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PC∥AB，根據(jù)平行公理求出PC∥EF，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠APC+∠PAB=180°，∠CPE+∠PEF=180°，再根據(jù)∠APE=∠APC+∠CPE等量代換即可得證；
如圖③，根據(jù)兩直線平行，根據(jù)同位角相等可得∠PCB=∠PEF，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得證；
如圖④，反向延長(zhǎng)AB交PE于C，根據(jù)同位角相等可得∠PCB=∠PEF，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得證．

解答：解：（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PC∥AB，
∵AB∥EF，
∴PC∥EF，
∴∠APC=∠PAB，∠CPE=∠PEF，
∵∠APE=∠APC+∠CPE，
∴∠APE=∠BAP+∠PEF；
（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PC∥AB，
∵AB∥EF，
∴PC∥EF，
∴∠APC+∠PAB=180°，∠CPE+∠PEF=180°，
∵∠APE=∠APC+∠CPE
∴∠PAB+∠PEF+∠APE=360°；
如圖③，∵AB∥EF，
∴∠PCB=∠PEF，
∵∠PCB=∠PAB+∠APE，
∴∠PEF=∠PAB+∠APE；
如圖④，反向延長(zhǎng)AB交PE于C，
∵AB∥EF，
∴∠PCB=∠PEF，
∵∠PAB=∠PCB+∠APE，
∴∠PAB=∠PEF+∠APE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，此類題目，過(guò)拐點(diǎn)作平行線是解題的關(guān)鍵．