Question

3．在平面直角坐標系中，將一塊為等腰Rt△ABC的三角板按如圖所示放置，若AO=2，OC=1，∠ACB=90°．
（1）求點B的坐標；
（2）如果拋物線l：y=ax²-ax-2經(jīng)過點B，試求拋物線l的解析式；
（3）在拋物線l上是否存在一點P（點B除外），使△ACP是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先過點B作BD⊥x軸，垂足為D，易證得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點B的坐標；
（2）利用待定系數(shù)法，將點B的坐標代入可求出拋物線l的解析式；
（3）分別從①以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，過點P₁作P₁M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，過點P₂作P₂N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，過點P₃作P₃H⊥y軸，進行分析求得答案．

解答 解：（1）如圖，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
在△BDC和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠CAO}\\{∠BDC=∠COA}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴點B的坐標為（3，1）；
（2））∵拋物線y=ax²-ax-2過點B（3，1），
∴1=9a-3a-2，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2；
（3）設(shè)存在點P，使得△ACP是等腰直角三角形，
①若以AC為直角邊，點C為直角頂點，
則延長BC至點P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，過點P₁作P₁M⊥x軸，如圖所示，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC，
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1，
∴P₁（-1，-1），經(jīng)檢驗點P₁在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2上；
②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，
得到等腰直角三角形ACP₂，過點P₂作P₂N⊥y軸，如圖所示，
同理可證△AP₂N≌△CAO，
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，
∴P₂（-2，1），經(jīng)檢驗P₂（-2，1）也在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2上；
③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，
得到等腰直角三角形ACP₃，過點P₃作P₃H⊥y軸，如圖所示，
同理可證△AP₃H≌△CAO，
∴HP₃=OA=2，AH=OC=1，
∴P₃（2，3），經(jīng)檢驗P₃（2，3）不在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2上；
故符合條件的點有P₁（-1，-1），P₂（-2，1）兩點．

點評 此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．