Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中A（-2，0）、B（0，1），AB=AC，且∠BAC=90°．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)B、C兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上．請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線B′C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線B′C′交y軸于點(diǎn)G．問是否存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形？如果存在，請求出點(diǎn)M和點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作CN⊥x軸于點(diǎn)N，通過角的計(jì)算得出∠NAC=∠OBA，結(jié)合相等的直角以及AC=AB即可證出Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），進(jìn)而得出ON和CN的長度，此題得解；
（2）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，C′（c，2），根據(jù)平移的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)B、C的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于k、c的二元一次方程組，解方程組即可得出k、c值，由此即可得出反比例函數(shù)解析式與點(diǎn)B′、C′坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B′、C′坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線B′C′的解析式；
（3）假設(shè)存在，根據(jù)直線B′C′的解析式即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M（t，0），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于t的分式方程，解方程即可得出t值，將t值代入點(diǎn)M、P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）作CN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖1所示．
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠OAB=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠NAC=∠OBA．
在Rt△CNA和Rt△AOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CNA=∠AOB}\\{∠NAC=∠OBA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
∴AN=BO=1，NO=NA+AO=3，CN=AO=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，2）．
（2）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，
∵C（-3，2），B（0，1），
∴設(shè)C′（c，2），則B′（c+3，1）．
∵點(diǎn)B′和C′在反比例函數(shù)圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2c}\\{k=c+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{k=6}\end{array}\right.$，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$．
∵c=3，
∴C′（3，2），B′（6，1），
設(shè)直線B′C′的解析式為y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{2=3m+n}\\{1=6m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線B′C′的解析式位y=-$\frac{1}{3}$x+3．
（3）假設(shè)存在，
令y=-$\frac{1}{3}$x+3中x=0，則y=3，
∴G（0，3），
設(shè)點(diǎn)M（t，0），則P（0+3-t，3+2-0），即（3-t，5），
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象上，
∴5=$\frac{6}{3-t}$，解得：t=$\frac{9}{5}$，
經(jīng)檢驗(yàn)t=$\frac{9}{5}$是方程5=$\frac{6}{3-t}$的解，
∴M（$\frac{9}{5}$，0），P（$\frac{6}{5}$，5）．
故存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{9}{5}$，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{6}{5}$，5）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)以及解分式方程，解題的關(guān)鍵是：（1）求出ON和CN的長度；（2）利用反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征找出關(guān)于k、c的二元一次方程組；（3）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出關(guān)于t的分式方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出方程（或方程組）是關(guān)鍵．