Question

（本小題滿分9分）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和B（3，0），點(diǎn)C（m，）在拋物線的對(duì)稱軸上.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）求證: △ABC是等腰三角形.

（3）動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上，從點(diǎn)A出發(fā)以每鈔1個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段AB上，從B出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向A運(yùn)動(dòng).當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似.

 

Answer 1

（1）

（2）見(jiàn)解析

（3）當(dāng)t=或t=時(shí)，相似.

【解析】

試題分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求解析式，

（2）根據(jù)對(duì)稱性構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題

（3）利用三角形相似求出

試題解析：（1）把A（1，0）和B（3，0）代入得：

，

解得：，

∴拋物線的函數(shù)解析式是.

（2）拋物線的對(duì)稱軸是，

∵點(diǎn)C（m,）在拋物線對(duì)稱軸上

∴m=2

∴點(diǎn)C（2,），

∴CA==4, CB==4，

∴CA= CB

∴△ABC是等腰三角形

（3）∵∠A是公共角

當(dāng)∠APQ=∠ACB時(shí)，△APQ∽△ACB，

∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t，

∴，

∴t=，

當(dāng)∠APQ=∠ABC時(shí)，，

∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t，

∴，

∴t=，

∴當(dāng)t=或t=時(shí)，相似.

考點(diǎn)：待定系數(shù)法，解直角三角形，三角形相似