Question

3．某商家經(jīng)銷一種綠茶，用于裝修門面已投資3000元．已知綠茶每千克成本50元，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)銷量y（kg）隨銷售單價(jià)x（元/kg）的變化而變化，具體變化規(guī)律如表所示：

銷售單價(jià)x（元/kg）	…	70	75	80	85	90	…
月銷售量y（kg）	…	100	90	80	70	60	…

設(shè)該綠茶的月銷售利潤(rùn)為w（元）（銷售利潤(rùn)=單價(jià)×銷售量-成本）
（1）請(qǐng)根據(jù)上表，寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；
（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出自變量x的取值范圍），并求出x為何值時(shí)，w的值最大？
（3）若在第一個(gè)月里，按使w獲得最大值的銷售單價(jià)進(jìn)行銷售后，在第二個(gè)月里受物價(jià)部門干預(yù)，銷售單價(jià)不得高于80元，要想在全部收回裝修投資的基礎(chǔ)上使第二個(gè)月的利潤(rùn)至少達(dá)到1700元，那么第二個(gè)月時(shí)里應(yīng)該確定銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）設(shè)y=kx+b，待定系數(shù)法求解即可得；
（2）根據(jù)：“總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式，配方可得其最值情況；
（3）由（2）知，第二個(gè)月利潤(rùn)需達(dá)到1700+550即W=2250才能滿足題目條件，解方程可得x的值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得x的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)y=kx+b，
將（70，100），（75，90）代入上式，
得：$\left\{\begin{array}{l}70k+b=100\\ 75k+b=90\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=240\end{array}\right.$，
則y=-2x+240，
（2）w=（x-50）y
=（x-50）（-2x+240）
=-2x²+340x-9000
=-2（x-85）²+2450，
當(dāng)x=85時(shí)，w_最大=2450；
（3）由（2）知，第1個(gè)月還有3000-2450=550元的投資成本沒(méi)有收回．
則要想在全部收投資的基礎(chǔ)上使第二個(gè)月的利潤(rùn)達(dá)到1700元，
即w=2250才可以，
可得方程：-2（x-85）²+2450=2250
解得：x₁=75，x₂=95
根據(jù)題意x₂=95不合題意，應(yīng)舍去，
當(dāng)x=80時(shí)，y=2400，
∵-2＜0，
∴當(dāng)x＜85時(shí)，w隨x的增大而增大，
當(dāng)w≥2250，且銷售單價(jià)不高于80時(shí)，75≤x≤80．
答：當(dāng)銷售單價(jià)為75≤x≤80元時(shí)，在全部收回投資的基礎(chǔ)上使第二個(gè)月的利潤(rùn)不低于1700元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力及待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意準(zhǔn)確抓住相等關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．