Question

如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于點(diǎn)P，且PC=BC．
（1）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若tan∠A=

1

3

，BC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠OBP+∠CBP=90°，則BC是⊙O的切線；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，可設(shè)OP=x，則OA=3x．在Rt△OBC中，由勾股定理列出關(guān)于x的方程（x+8）²=（3x）²+8²，通過解該方程可以求得x=2，則OA=3x=6．

解答：解：（1）相切．理由如下：
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA．
∵CP=BP，
∴∠CBP=∠BPC．
∵∠OPA=∠BPC，∠A+∠OPA=90°，
∴∠OBP+∠CBP=90°，
∴BC是⊙O的切線；

（2）∵tanA=

OP

OA

=

1

3

，
∴設(shè)OP=x，則OA=3x．
在Rt△OBC中，（x+8）²=（3x）²+8²，
解得 x=2，則OA=6，
∴⊙O的半徑是6．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圓的切線，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的運(yùn)用，知道圓的切線，連接圓心和切點(diǎn)，題目綜合性比較強(qiáng)，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．