Question

6．如圖，⊙O的直徑AB=8cm，D為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D的切線與AB的延長線于點(diǎn)C．AD=CD，求：
（1）∠A的度數(shù)：
（2）CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ADO，由外角的性質(zhì)得到∠DOC=∠A+∠ADO，于是得到∠DOC=2∠A，等量代換得到∠DOC=2∠C，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODC=90°，于是求得∠C=30°，即可得到結(jié)論；
（2）連接BD，由AB是⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，由于∠A=30°，AB=8cm，于是得到AD=AB•cos30°=4$\sqrt{3}$，即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠DOC=∠A+∠ADO，
∴∠DOC=2∠A，
∵AD=CD，
∴∠A=∠C，
∴∠DOC=2∠C，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴∠A=∠C=30°；

（2）連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，AB=8cm，
∴AD=AB•cos30°=4$\sqrt{3}$，
∴CD=AD=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用切線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)求得∠DOB的度數(shù)．