Question

1．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M、N分別是邊BC、CD上的兩個動點，當(dāng)M點在BC上運(yùn)動時，始終保持AM和MN垂直．
（1）證明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點運(yùn)動到什么位置時，梯形ABCN的面積最大，并求出最大面積；
（3）當(dāng)M點運(yùn)動到什么位置時，Rt△ABM∽Rt△AMN？

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD為正方形，得到一對直角相等，再由AM垂直于MN，得到∠AMN為直角，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；
（2）由（1）得出的相似三角形，可得對應(yīng)邊成比例，根據(jù)BM=x與AB=8，表示出CN，由CN為上底，AB為下底，BC為高，利用梯形的面積公式列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定出梯形ABCN面積最大時M的位置，并求出最大面積即可；
（3）由一對直角相等，要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必須有$\frac{AB}{AM}$=$\frac{BM}{MN}$，表示出BM，由（1）的結(jié)論表示出CM，可得出BM=CM，即此時M為BC的中點．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，BM=x，
∴$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CN}$，即$\frac{8}{8-x}$=$\frac{x}{CN}$，
整理得：CN=$\frac{-{x}^{2}+8x}{8}$，
∴y=S_梯形ABCN=$\frac{1}{2}$×（$\frac{-{x}^{2}+8x}{8}$+8）×8=-$\frac{1}{2}$x²+4x+32=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+40（0＜x＜8），
則當(dāng)x=4，即M點運(yùn)動到BC的中點時，梯形ABCN的面積最大，最大值為40；
（3）∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必須有$\frac{AB}{AM}$=$\frac{BM}{MN}$，即BM=$\frac{AB•MN}{AM}$，
由（1）知$\frac{AM}{MN}$=$\frac{AB}{MC}$，即MC=$\frac{AB•MN}{AM}$，
∴BM=MC，
則當(dāng)點M運(yùn)動到BC的中點時，Rt△ABM∽Rt△MCN．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，梯形的面積求法，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．