Question

△ABC中，A、B兩點坐標分別是（0，0）和（36，15），點C的橫、縱坐標均為整數，則△ABC的面積的最小值是（　�。�

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  2

• D、不存在最小值

Answer 1

考點：面積及等積變換,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：過點C作CH⊥y軸于H，過點B作BG⊥y軸于G，過點C作CD∥AB，交y軸于點D，設點C的坐標為（x，y），其中x、y均為整數，根據等積變換可得S_△CAB=S_△DAB=18AD．易證△DHC∽△AGB，利用相似三角形的性質可得到DH=

5

12

x，進而可得到S_△CAB=

3(12y-5x)

2

，由x、y是整數及S_△CAB＞0可得到12y-5x是正整數，則有12y-5x≥1，從而可求出△ABC的面積的最小值．

解答：解：過點C作CH⊥y軸于H，過點B作BG⊥y軸于G，過點C作CD∥AB，交y軸于點D，
設點C的坐標為（x，y），其中x、y均為整數，如圖，
則有CH=x，AH=OH=y，S_△CAB=S_△DAB=

1

2

AD•BG=

1

2

×AD×36=18AD，
∠CDH=∠BAG，∠DHC=∠AGB=90°，
∴△DHC∽△AGB，
∴

DH

AG

=

CH

BG

．
∵AG=15，BG=36，CH=x，
∴DH=

15

36

x=

5

12

x，
∴AD=AH-DH=y-

5

12

x，
∴S_△CAB=18（y-

5

12

x）
=18y-

15

2

x=

36y-15x

2

=

3(12y-5x)

2

．
∵x、y是整數，
∴12y-5x也是整數．
∵S_△CAB＞0，
∴12y-5x是正整數，
∴12y-5x≥1，
∴S_△CAB≥

3

2

．
當y=3，x=7時，S_△CAB取到最小值，最小值為

3

2

．
故選：C．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質、等積變換等知識，有一定的難度．而運用等積變換將△CAB的面積轉化為△DAB的面積則是解決本題的關鍵．