Question

9．矩形DEFG的四個頂點分別在Rt△ABC的邊上，∠A=90°，在Rt△DGC和Rt△BFE內(nèi)又作如圖所示的正方形JGHI和正方形KFML，求證：ID=EL．

Answer 1

分析 設(shè)DG=EF=c，CG=b，F(xiàn)B=m，由△CGD∽△EFB，得$\frac{DG}{FB}$=$\frac{CG}{EF}$，求出FB=$\frac{{c}^{2}}$，設(shè)正方形HGJI的邊長為x，由JI∥CG，得$\frac{JI}{CG}$=$\frac{DJ}{DG}$，求出正方形邊長JG，同理求出正方形KFML的邊長，由此求出DJ、KL即可解決問題．

解答 解：∵四邊形DEFG是矩形，
∴DG=EF，∠DGF=∠DGC=∠EFG=∠EFB=90°
設(shè)DG=EF=c，CG=b，F(xiàn)B=m，
∵∠A=90°，
∴∠C+∠B=90°，∠FEB+∠B=90°，
∴∠C=∠FEB，
∴△CGD∽△EFB，
∴$\frac{DG}{FB}$=$\frac{CG}{EF}$，
∴$\frac{c}{m}$=$\frac{c}$，
∴m=$\frac{{c}^{2}}$，
設(shè)正方形HGJI的邊長為x，
∵JI∥CG，
∴$\frac{JI}{CG}$=$\frac{DJ}{DG}$，
∴$\frac{x}$=$\frac{c-x}{c}$，
∴x=$\frac{bc}{b+c}$，
同理正方形KFML的邊長為$\frac{cm}{c+m}$=$\frac{c•\frac{{c}^{2}}}{c+\frac{{c}^{2}}}$=$\frac{{c}^{2}}{b+c}$，
∴DJ=DG-JG=c-$\frac{bc}{b+c}$=$\frac{{c}^{2}}{b+c}$，∵KL=$\frac{{c}^{2}}{b+c}$，
∴DJ=KL．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是設(shè)參數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，求出DJ、KL，屬于中考常考題型．