Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，已知B（4，0），C（2，-6）．
（1）求該拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D（m，n）（-1＜m＜2）在拋物線圖象上，當(dāng)△ACD的面積為$\frac{27}{8}$時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為l，點(diǎn)D關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為E，能否在拋物線圖象和l上分別找到點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過(guò)D作DH垂直x軸于H，CG垂直x軸于G．則S_△ACD=S_△ADH+S_{四邊形HDCG}-S_△ACG，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由D點(diǎn)坐標(biāo)，可求得DE的長(zhǎng)，當(dāng)DE為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到PQ=DE=2，從而可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)DE為對(duì)角線時(shí)，可知P點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)B、C二點(diǎn)，且B（4，0），C（2，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+4b+c=0}\\{4+2b+c=-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的解析式：y=x²-3x-4，
∵拋物線y=x²-3x-4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且點(diǎn)A在x軸上
∴x²-3x-4=0，解得：x₁=-1或x₂=4（舍去）
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1，0）；

（2）如圖1，過(guò)D作DH垂直x軸于H，CG垂直x軸于G．
∵點(diǎn)D（m，n）（-1＜m＜2），C（2，-6）
∴點(diǎn)H（m，0），點(diǎn)G（2，0）．
則S_△ACD=S_△ADH+S_{四邊形HDCG}-S_△ACG，
=$\frac{1}{2}$|n|（m+1）+$\frac{1}{2}$（|n|+6）（2-m）-$\frac{1}{2}$（|-1|+2）×|-6|
=$\frac{3}{2}$|n|-3m-3，
∵點(diǎn)D（m，n）在拋物線圖象上，
∴n=m²-3m-4，
∵-1＜m＜2，即m²-3m-4＜0
∴|n|=4+3m-m²，
∵△ACD的面積為：$\frac{27}{8}$，
∴$\frac{3}{2}$（4+3m-m²）-3m-3=$\frac{27}{8}$
即4m²-4m+1=0，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∴D（$\frac{1}{2}$，$-\frac{21}{4}$）．

（3）能．理由如下：
∵y=x²-3x-4=${（x-\frac{3}{2}）^2}-\frac{25}{4}$，
∴拋物線的對(duì)稱軸l為$x=\frac{3}{2}$．
∵點(diǎn)D關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為E，
∴E（$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{4}$），∴DE=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2．
①當(dāng)DE為平行四邊形的一條邊時(shí)，如圖2：
則PQ∥DE且PQ=DE=2．
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$或$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$．
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$=-$\frac{9}{4}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
②當(dāng)DE為平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線PQ、DE互相平分，由于Q在拋物線對(duì)稱軸上，對(duì)稱軸l垂直平分DE，因此點(diǎn)P在對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)上，即為拋物線頂點(diǎn)（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）．
綜上所述，存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意二次函數(shù)解析式三種形式的靈活運(yùn)用，在（3）中求得D點(diǎn)的坐標(biāo)從而求得DE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．