Question

4．如圖，在△ABC中，BC=10，AH⊥BC于點(diǎn)H，S_△ABC=25，點(diǎn)D為AB邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．交AH于點(diǎn)F，以DE為折線將△ADE翻折，所得的△A′DE與四邊形BCED重疊部分的面積記為S（點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)A′落在AH所在的直線上）．設(shè)DE=x．
（1）當(dāng)x=2時(shí)，重疊部分的面積S=1；
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)D、A′、C在同一直線上時(shí)，求BH的長；
（3）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出高AH長，根據(jù)相似求出AF，即可求出S；
（2）根據(jù)相似求出CH=DF，根據(jù)相似得出比例式，即可求出DF的長，即可求出答案；
（3）①當(dāng)0＜x≤5時(shí)，A′在三角形ABC內(nèi)部，重合部分為三角形DA′E，因此只需求三角形ADE的面積即可．本題可先通過相似三角形ADE和ABC高的相似比求出DE的長，進(jìn)而求三角形ADE的面積，也可直接根據(jù)三角形面積比等于相似比的平方來求三角形ADE的面積．
②當(dāng)5＜x＜10時(shí)，此時(shí)A′落在三角形ABC外部，重合部分的面積可用三角形A′DE的面積即三角形ADE的面積-三角形A′PQ的面積求得．求法同①．

解答 解：（1）∵在△ABC中，BC=10，AH⊥BC于點(diǎn)H，S_△ABC=25，
∴$\frac{1}{2}$×BC×AH=25，
∴AH=5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AF}{AH}$，
∴$\frac{2}{10}$=$\frac{AF}{5}$，
解得：AF=1，
即A′F=AF=1，
∴當(dāng)x=2時(shí)，重疊部分的面積S=$\frac{1}{2}$×DE×A′F=1，
故答案為：1；

（2）如圖（1），
∵DE∥BC，
∴△DA′F∽△CA′H，
∴$\frac{DF}{CH}$=$\frac{A′F}{A′H}$，
∴$\frac{DF}{CH}$=$\frac{1}{5-1-1}$，
∴CH=3DF，
∵DE∥BC，
∴△ADF∽△ABH，
∴$\frac{DF}{BH}$=$\frac{AF}{AH}$，
∴$\frac{DF}{10-3DF}$=$\frac{1}{5}$，
解得：DF=$\frac{5}{4}$，
∴BH=10-3×$\frac{5}{4}$=$\frac{25}{4}$；
（3）①當(dāng)0＜x≤5時(shí)，由折疊得到的△A'ED落在△ABC內(nèi)部如圖（1），重疊部分為△A'ED，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AF}{AH}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{AF}{5}$，
解得：AF=$\frac{1}{2}$x，
即A′F=AF=$\frac{1}{2}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$×DE×A′F=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$x²（0＜x≤5）
②當(dāng)5＜x＜10時(shí)，由折疊得到的△A'ED有一部分落在△ABC外，如圖（2），重疊部分為梯形EDPQ，
∵FH=5-AF=5-$\frac{1}{2}$x
A'H=A'F-FH=$\frac{1}{2}$x-（5-$\frac{1}{2}$x）=x-5，
又∵DE∥PQ，
∴△A′PQ∽△A′DE，
∴$\frac{PQ}{DE}$=$\frac{A′H}{A′F}$，
∴$\frac{PQ}{x}$=$\frac{x-5}{\frac{1}{2}x}$，
∴PQ=2（x-5）
∴S=$\frac{1}{2}$（DE+PQ）×FH=$\frac{1}{2}$[x+2（x-5）]（5-$\frac{1}{2}$x），
即S=-$\frac{3}{4}$x²+10x-25（5＜x＜10）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的翻折變換、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．