Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線與AC，AB的交點分別為D，E．
（1）若AD=15，cos∠BDC=$\frac{4}{5}$，求AC的長和tanA的值；
（2）若∠BDC=30°，求tan15°的值．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得DB=DA=15，再根據(jù)余弦的定義得到cos∠BDC=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{4}{5}$，則DC=12，根據(jù)勾股定理可計算出BC=9，然后在Rt△ACB中，根據(jù)正切的定義求解；
（2）設(shè)AD=t，則DB=t，在Rt△DCB中根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到BC=$\frac{1}{2}$t，DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，再證明∠A=15°，然后根據(jù)正切的定義即可求出tan15°=tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）t}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DB=DA=15，
∵在Rt△DCB中，cos∠BDC=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{CD}{15}$=$\frac{4}{5}$，
∴DC=12，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=9．
在Rt△ACB中，AC=AD+CD=27，
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{9}{27}$=$\frac{1}{3}$；

（2）設(shè)AD=t，則DB=t，
∵在Rt△DCB中，∠C=90°，∠BDC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$t，DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠A+∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠A=∠ABD=15°．
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=AD+DC=t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）t，
∴tan15°=tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）t}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了解直角三角形、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義．求BC的長度時，利用“線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等”求得BD的長度是解答（1）的關(guān)鍵所在．