Question

如圖，四邊形ABCD中，已知AB=10，CD=12，對(duì)角線(xiàn)BD平分∠ABC，∠ADB=45°，∠BCD=90°，則邊BD的長(zhǎng)度為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：

分析：如圖，作輔助線(xiàn)；首先證明△FBD∽△GDA，進(jìn)而得到DG•DF=BF•AG①；設(shè)BE=λ，將①式中的線(xiàn)段分別用λ來(lái)表示，得到關(guān)于λ的方程，解方程即可解決問(wèn)題．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E；在ED上截取EF=EB，EG=EA；
連接AG，BF；則∠BFE=∠AGE=45°，
∴∠BFD=∠DGA=135°；
∵BD平分∠ABC，且∠BCD=90°，
∴DE=DC=12，BE=BC；
∵∠FBD+∠BDF=∠BDF+∠ADG=45°，
∴∠FBD=∠GDA；
∴△FBD∽△GDA，
∴

BF

DG

=

DF

AG

，即DG•DF=BF•AG；
設(shè)BE=λ，則DF=12-λ，EG=EA=10-λ；
BF=

2

λ，AG=

2

EG=

2

（10-λ），
∴（λ+2）（12-λ）=

2

（10-λ）

2

λ，
整理得：λ²-10λ+24=0，
解得：λ=4或6，
即邊BC的長(zhǎng)度為4或6．
由勾股定理得：BD²=BC²+CD²，
∴BD=4

10

或6

5

故答案為：4

10

或6

5

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形；靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、解答是關(guān)鍵．