Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過點A（

25

3

，0）、點B（0，

25

4

）．
（1）求直線l的函數(shù)解析式．
（2）若給定點M（5，0），若存在直線l上的兩點P、Q，使得以P，Q，O為頂點的三角形與△OMP全等，求這樣的P點有幾個？

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得一次函數(shù)解析式；
（2）分類討論：當OP平分∠QOM時，△OMP≌△OQP，可得OM=OQ，根據(jù)自變量的值，可得相應的函數(shù)值；當OA=PA，OM=PQ時，△OMP≌△PQO，可得PF=OE=5，根據(jù)函數(shù)值，可得相應自變量的值；當OA=AP，OM=PQ時，△OMP≌△PQO，根據(jù)AAS，可得△OEA≌△PFA，可得PF的值，根據(jù)函數(shù)值，可得相應自變量的值．

解答：解：（1）設直線l的函數(shù)解析式為y=kx+b，
把點A（

25

3

，0）、點B（0，

25

4

）代入解析式y(tǒng)=kx+b，
解得：k=-

3

4

，b=

25

4

．
故直線l的函數(shù)解析式為y=-

3

4

x+

25

5

；
（2）有三個；
①如圖1，作OQ⊥AB，

S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OQ．
∴OM=5，
∴OQ=OM．
當OP平分∠QOM時，△OMP≌△OQP，此時PM⊥OA．
把x=5代入y=-

3

4

x+

25

5

，得y=

5

2

．
∴P₁（5，

5

2

）．
②如圖2，當OA=PA，OM=PQ時，△OMP≌△PQO，
過O作OE⊥AB于點E，過P作PF⊥OA于點F．

∴△OEA≌△PFA．
∴PF=OE=5．
把 y=5代入y=-

3

4

x+

25

5

，得x=

5

3

．
∴P₂（

5

3

，5）；
③如圖3，當OA=AP，OM=PQ時，△OMP≌△PQO．
過O作OE⊥AB于點E，過P作PF⊥OA于點F．

∴△OEA≌△PFA．
PF=OE=-5．
把y=-5代入y=-

3

4

x+

25

4

，得，x=15．
∴P₃（15，-5）．
綜上所述，所有符合條件的點P的坐標為P₁（5，

5

2

），P₂（

5

3

，5），P₃（15，-5）．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了待定系數(shù)法求解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，分類討論是解題關鍵．