Question

某合作學(xué)習(xí)小組對問題“一條定直線上的動點與直線外同側(cè)兩定點所連線段的夾角的最大值”進行了探索．
（1）如圖1，點A、B是定直線CD外同側(cè)的兩個定點，E是CD上一點，且經(jīng)過A、B、E的⊙O恰好與直線CD相切，點P是直線CD上不與點E重合的任意一點，連接AE、BE、AP、BP，求證：∠AEB＞∠APB；
（2）由（1）可得：若直線上存在某個點，經(jīng)過這個點和兩定點的圓恰好與這條直線相切，則這個點與兩定點所連線段所構(gòu)成的角最大．請利用這個結(jié)論解決以下問題：
①如圖2，直線l與AB平行，且平行線間的距離為

3

，AB=2，P是直線l上的一個動點，求∠APB的最大值；
②如圖3，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（5，0），直線l經(jīng)過點C（-1，2），點P是直線l上的動點，若∠APB的最大值為45°，求直線l的解析式．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)AP與⊙O交于點F，連接BF，根據(jù)圓周角定理可知∠AEB=∠AFB，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠AFB＞∠APB，由此可得出結(jié)論；
（2）經(jīng)過A、B作⊙O，⊙O與l相切于點P，連接PA，PB，此時∠APB的值最大，連接PO并延長PO交AB于點C，由切線的性質(zhì)可知OP⊥l，根據(jù)l∥AB可得PC=

3

，AC=

1

2

AB=l，AP=AB，同理可得PA=AB，故△PAB是等邊三角形，由此可得出結(jié)論；
（3）過點A，B作⊙D，使⊙D與直線l相切于點P，連接PA，PB，此時∠APB的值最大，即∠APB=45°，連接DA，DB，DP，則∠ADB=2∠APB=90°，故可得出△DAB是等腰直角三角形．根據(jù)A，B，C三點的坐標可求出⊙D的半徑，由此可得出CD的長，所以CD∥x軸．根據(jù)⊙D與直線l相切可知∠DPC=90°．再根據(jù)PC兩點的坐標即可得出直線l的解析式．

解答：解：（1）如圖1，設(shè)AP與⊙O交于點F，連接BF，
∵∠AEB=∠AFB，∠AFB＞∠APB，
∴∠AEB＞∠APB．

（2）如圖2，經(jīng)過A、B作⊙O，⊙O與l相切于點P，連接PA，PB，此時∠APB的值最大．
連接PO并延長PO交AB于點C，
∵⊙O與l相切，
∴OP⊥l，
∵l∥AB，
∴PC=

3

，AC=

1

2

AB=l，
∴AP=AB=2，
同理，PA=AB，
∴△PAB是等邊三角形，
∴∠APB的最大值是60°．

（3）如圖3，過點A，B作⊙D，使⊙D與直線l相切于點P，連接PA，PB，此時∠APB的值最大，即∠APB=45°．
連接DA，DB，DP，則∠ADB=2∠APB=90°，
∴△DAB是等腰直角三角形．
∵A（1，0），B（5，0），C（3，2），
∴⊙D的半徑為2

2

．
∵C（-1，2），D（3，2），
∴CD=4，CD∥x軸．
∵⊙D與直線l相切，
∴∠DPC=90°．
在Rt△PAB中，
∵CD=4，DP=2

2

，
∴∠PCD=45°，
∴PC=PD．
∵∠CPA=∠DPA=45°，
∴PA⊥CD，
∴PA⊥x軸，
∴P、D、B三點共線，
∴P（1，4）．
∵C（-1，2），
∴直線l的解析式為y=x+3．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識，難度較大．