Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的邊長(zhǎng)為AO=6，

（1）如圖①，E是OB的中點(diǎn)，將△AOE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形AOBC內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)G．求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）定義：若以不在同一直線上的三點(diǎn)中的一點(diǎn)為圓心的圓恰好過另外兩個(gè)點(diǎn)，這樣的圓叫做黃金圓．如圖②，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A沿線段CA運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒4個(gè)單位的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)C沿線段OC運(yùn)動(dòng),求當(dāng) P、Q、C三點(diǎn)恰好構(gòu)成黃金圓時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

（1）G的坐標(biāo)為(8，)；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為，（） ，．

【解析】

試題分析：（1）連接EG，由題意得：?AOE≌?AFE，

??EFG=?OBC=900，

又∵E是OB的中點(diǎn)，

?EG=EG，EF=EB=4．?EFG≌?EBG．

?FEG=?BEG，?AOB=?AEG=900，

?AOE∽?AEG，AE2=AO?AG，

即36+16=6×AG，AG=，易得CG=，BG=．

∴G的坐標(biāo)為(8，)

設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，

當(dāng)點(diǎn)C為好圓的圓心時(shí)，則CQ=CP，

即：2t=10—4t，得到t=，此時(shí)CP=，AP=，

P點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)點(diǎn)P為好圓的圓心時(shí)，則PC=PQ，

過點(diǎn)Q作AC的垂線交AC于點(diǎn)E，CQ=10—4t，CP=2t．

由三角形相似可知：EQ=CQ=，

PE=， 則，

化簡(jiǎn)得：，

∴ (舍去) ．

此時(shí)，AP=，P點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)點(diǎn)Q為好圓的圓心時(shí)，則QC=PQ，過點(diǎn)Q作AC的垂線交AC于點(diǎn)F，CQ=10—4t，CP=2t，由三角形相似可知： QF=；PF=．

則 ，

整理得．

∴ (舍去) ．

此時(shí)，AP=,P點(diǎn)坐標(biāo)為．

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為，（） ，．

考點(diǎn): 矩形的綜合運(yùn)用