Question

6．在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分別在AB，BC上，若△DEF有一個角為60°，求證：△DEF一定是等邊三角形．

Answer 1

分析 分三種情形討論：①若∠EDF=60°，只要證明△DAE≌△DBF即可解決問題．②若∠DEF=60°，③若∠DFE=60°，②、③的證明可以轉化為證明∠EDF=60°即可．

解答 證明：①若∠EDF=60°，連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
∵AD=AB，∠A=60°，
∴△ABD為等邊三角形．
∴AD=BD，∠ADB=60°．
∵∠ADE+∠EDB=60°，∠FDB+∠EDB=60°，
∴∠ADE=∠FDB．
∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×120°=60°．
∴∠DAE=∠DBF．
在△DAE和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BDF}\\{AD=BD}\\{∠A=∠DBF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DBF（ASA）．
∴DE=DF．
又∵∠EDF=60°，
∴△EDF為等邊三角形．
②若∠DEF=60°，
∵∠DEF=∠DBC=60°，
∴D、E、B、F四點共圓，
∴∠EDF+∠ABC=180°，
∴∠EDF=60°，
∴由（1）可知△DEF是等邊三角形．
③若∠DFE=60°，
∵∠DFE=∠DBE=60°，
∴D、E、B、F四點共圓，
∴∠EDF+∠ABC=180°，
∴∠EDF=60°，
∴由（1）可知△DEF是等邊三角形．

點評 本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定、四點共圓、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，學會轉化的思想解決問題，把②、③兩種情形轉化為①，屬于中考�？碱}型．