Question

15．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，作∠ADB的角平分線DE交AB于點(diǎn)E，
（1）求證：DE∥BC；
（2）若AE=3，AD=5，點(diǎn)P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP為何值時(shí)，△DEP為等腰三角形．請(qǐng)求出所有BP的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BD=AD=$\frac{1}{2}$AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得DE⊥AB，再根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行證明；
（2）利用勾股定理列式求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BE=AE，然后分DE=EP、DP=EP、DE=DP三種情況討論求解．

解答 （1）證明：∵∠ABC=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AC，
∵DE是∠ADB的角平分線，
∴DE⊥AB，
又∵∠ABC=90°，
∴DE∥BC；

（2）解：∵AE=3，AD=5，DE⊥AB，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=4，
∵DE⊥AB，AD=BD，
∴BE=AE=3，
①DE=EP時(shí)，BP=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
②DP=EP時(shí)，BP=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$×4=2，
③DE=DP時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，
則DF=BE=3，
由勾股定理得，F(xiàn)P=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
點(diǎn)P在F下邊時(shí)，BP=4-$\sqrt{7}$，
點(diǎn)P在F上邊時(shí)，BP=4+$\sqrt{7}$，
綜上所述，BP的值為$\sqrt{7}$，2，4-$\sqrt{7}$，4+$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，難點(diǎn)在于（2）要分情況討論．